Question

如图所示，在复平面内有三点P₁，P₂，P₃对应的复数分别为1+a，1+2a，1+3a，且|a|=2，O为原点，求当S△P1OP2+S△P2OP3=2时，对应的复数a．

Answer 1

分析：如图，A点对应的复数为1，可知有向线段AP₁，AP₂，AP₃对应的复数为a，2a，3a，因此A，P₁，P₂，P₃共线，利用面积关系：
S△P1OP2+S△P2OP3=S△OAP3-S△OAP1，可得到关系式，再来求解就可以了．

解答：解：AP₁，AP₂，AP₃对应的复数为a，2a，3a，且它们有相同的辐角主值θ，即A，P₁，P₂，P₃共线．
∴S△AOP3=

1

2

|

OA

|•|

AP3

|sin•θ
=

1

2

•1•|3a|=sinθ=3sinθ
S△OAP1=

1

2

|

OA

|•|

AP1

|
=

1

2

•1•|a|•sinθ=sinθ
显然S△P1OP2+S△P2OP3=S△OAP3-S△OAP1=2sinθ
从而2sinθ=2
sinθ=1，即θ=

π

2

[∵θ∈（0，2π）]
因此有a=±2i．

点评：本题考查复数的概念以及运算，复数模的求法，复数的辐角的概念，三角形的面积的综合问题，