Question

【题目】设，函数

（1）若，求出函数在区间上的最大值.

（2）若，求出函数的单调区间（不必证明）

（3）若存在，使得关于方程有三个不相等的实数根，求出实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）

（2）递增区间和递减区间

（3）

【解析】

（1）当时，，结合去绝对值解法求最值即可；

（2）同样是采用去绝对值解法，写出分段函数，画出函数大致图像，判断函数增减区间即可；

（3）可结合（1）（2）结果，以为分界，再结合函数图像确定函数图像的增减性，结合数形结合思想得出关于参数的不等式，再结合对勾函数性质即可求解

（1）当时，，画出函数图像，如图：

当时，函数为增函数，；

（2）当时，，

当时，函数对称轴为，所以当时，单调递增；

当时，函数对称轴为，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

综上所述，当和时，函数单增，当时，函数单调递减；

（3）当时，，函数在时单增，，此时分段函数对应的对称轴在轴右侧，则在时，也时单增，不可能使得

有三个不相等的实数根；

当时，，要使有三个不相等的实数根，即应介于如图所示两虚线范围之间，，当时，

，即，

化简得，，时取到最小值，当时，单调递增（对勾函数性质），则，

故，故