Question

某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?

Answer 1

分析：在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.

解法一 设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.        

依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］          

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                     

显然,当x=9时,y_max=864(元),

即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.   

解法二 由上面解法得到y=-6x²+108x+378.

求导数,得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.