Question

（06年上海卷理）（14分）

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

解析：（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

         当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).             ∴=3；

         当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

         由得

         又 ∵ ，

    ∴，

    综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

   例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,

直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；

说明：由抛物线y²=2x上的点A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 满足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).