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    如图，双曲线=1(b∈N*)的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，求此双曲线方程.

    双曲线方程为-y2=1.


    解析:

    ∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，

    ∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c.

    又|PF1|-|PF2|=2a=4,

    ∴|PF1|=2c+2,|PF2|=2c-2.

    根据中线定理有|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),

    ∴(2c+2)2+(2c-2)2＜2(52+c2).

    ∴8c2+8＜50+2c2.∴c2＜7,

    即4+b2＜7.∴b2＜3.

    又b∈N*,∴b=1.

    ∴所求双曲线方程为-y2=1.

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     (Ⅰ)求双曲线的方程；

    (Ⅱ)设A(m，0)和B(，0)（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．

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    （I）求双曲线的方程；
    （II）设A（m，0）和（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和．

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