Question

正四面体A-BCD（四个面都是等边三角形的三棱锥）中，E为BC中点，求异面直线AE与BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：取CD中点F，连接EF、AF．在△BCD中利用中位线定理得EF∥BD，所以∠AEF（或其补角）即为异面直线AE与BD所成的角，设正四面体棱长为a，算出△AEF中各边之长，再利用余弦定理加以计算可得答案．

解答：解：取CD中点F，连接EF、AF，可得
∵△BCD中E、F分别为BC、CD的中点，∴EF∥BD，EF=

1

2

BD
因此，∠AEF（或其补角）即为异面直线AE与BD所成的角，
设正四面体棱长为a，由题意可得AF=AE=

3

2

a，EF=

1

2

a，
∴在△AEF中，根据余弦定理得
cos∠AEF=

EF2+EA2-AF2

2EF•EA

=

1 4 a2+ 3 4 a2- 3 4 a2

2× 1 2 a× 3 2 a

=

3

6

，
即异面直线AE和BD所成角的余弦值为

3

6

．

点评：本题在正四面体中求异面直线所成角大小．着重考查了正四面体的性质、三角形的中位线定理和异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．