Question

11．已知直线l：Ax+By+C=0（A、B不全为零）与圆x²+y²=1交于M、N两点，且|MN|=$\sqrt{3}$，若O为坐标原点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据弦长关系求出∠MON的大小，利用数量积公式即可求出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．

解答 解：取MN的中点A，则OA⊥MN，
∵|MN|=$\sqrt{3}$，∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵圆的半径R=OM=1，
∴sin∠AOM=$\frac{AM}{OM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则∠AOM=60°，可得∠MON=120°．
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1×1×cos120°=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查数量积的公式，考查直线与圆相交的性质，求出MON的大小是解决本题的关键．