Question

【解析图片】设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．
（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x₁，x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≤|x₁-x₂|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）使用待定系数法求函数的解析式，关键是根据已知条件构造方程组．
（2）当f（x）的二次系数a＞0时，f（x）≤0的解集非空?△≥0
（3）可将其转化为求的关于m的不等式组．

解答：解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此

a-b+c=0 4a+2b+c=1

，
故b=

1

3

-a，c=

1

3

-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（

2

3

+a）x+

4

3

-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（

2

3

+a）²-4a（

4

3

-2a）≤0，
即9a²-4a+

4

9

≤0，
解得a=

2

9

，
故f（x）=

2

9

x²+

x

9

-

1

9

（2）由

2

9

x²+

x

9

-

1

9

≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-

7

9

或n≥1，从而A=（-∞，-]

7

9

∪[1，+∞）
（3）显然|x₁-x₂|≥0，当且仅当n=-

7

9

或n=1时取得等号，
故m²+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m•t+（m²+1），
则有

g(-3)=m2-3m+1≤0 g(3)=m2+3m+1≤0

，
即

3- 5 2 ≤m≤ 3+ 5 2 -3- 5 2 ≤ m≤ -3+ 5 2

，
故m∈∅，不存在这样的实数m

点评：解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在数量关系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的关系．因此要熟练掌握“三个二次”之间的相互转换，善于用转化思想分析解决问题．