Question

8．（1）已知$α∈（0，\frac{π}{2}）$，化简$\frac{（sin2α+cos2α-1）（cosα+sinα）}{\sqrt{2-2cos2α}}$
（2）已知tanβ=$\frac{1}{2}$，tan（α-β）=$\frac{1}{3}$，α，β均为锐角，求角α．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．、
（2）利用角的变换，通过两角和的正弦函数求出α的正切函数值，即可求出结果．

解答 解　（1）$\frac{（sin2α+cos2α-1）（cosα+sinα）}{\sqrt{2-2cos2α}}$=$\frac{（2sinαcosα-2{sin}^{2}α）（cosα+sinα）}{\sqrt{2-2+4{cos}^{2}α}}$
=$\frac{2sinα（cosα-sinα）（cosα+sinα）}{2\left|sinα\right|}$…（3分）
因为α∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinα＞0，…（4分）
所以原式=$\frac{2sinα（cosα-sinα）（cosα+sinα）}{2sinα}$
=cos²α-sin²α=cos2α…（6分）
（2）∵tanα=tan[β+（α-β）]…（7分）

=$\frac{tanβ+tan（α-β）}{1-tanβtan（α-β）}$…（8分）
=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1…（10分）
又∵α为锐角…（11分）
∴α=$\frac{π}{4}$…（12分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，两角和的正切函数，考查计算能力．