Question

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A，B，若圆内的动点P使

PA

2，

PO

2，

PB

2成等比数列（O为坐标原点），则

PA

•

PB

的取值范围为（　　）

• A．(0，

  1

  2

  ]
• B．[-

  1

  2

  ，0)
• C．(-

  1

  2

  ，0)
• D．[-1，0）

Answer 1

分析：设P（x，y），则A（-1，0），B（1，0），

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，y），

PA

•

PB

=（-1-x，-y）•（1-x，y）=x²+y²-1；由圆内的动点P使

PA

2，

PO

2，

PB

2成等比数列可求得x²-y²=

1

2

，从而得x²≥

1

2

．又P在圆内，故x²+y²-1＜0，继而得到答案．

解答：解：设P（x，y），则A（-1，0），B（1，0），

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，y），
∵

PA

2，

PO

2，

PB

2成等比数列，
∴(

PO

2)2=

PA

2•

PB

2，
∴（x²+y²）²=[（-1-x）²+y²][（1-x）²+y²]
=（x²+y²+1）²-4x²，
∴x²-y²=

1

2

，
∴y²=x²-

1

2

，x²≥

1

2

．
∴

PA

•

PB

=（-1-x，-y）•（1-x，y）=x²+y²-1=x²+（x²-

1

2

）-1=2x²-

3

2

≥2×

1

2

-

3

2

=-

1

2

①
又P在圆内，故x²+y²-1＜0，即

PA

•

PB

＜0②
由①②得：-

1

2

≤

PA

•

PB

＜0．
故选B．

点评：本题考查数列与解析几何的综合，着重考查等比数列的性质，向量的坐标运算，通过等比数列的性质与向量的坐标运算得到x²-y²=

1

2

是关键，属于难题．