抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2,该抛物线上的每个点到准线x=-2的距离都与到定点N的距离相等,圆N是以N为圆心,同时与直线l1:y=x和l2:y=-x相切的圆.
(1)求定点N的坐标;
(2)是否存在一条直线l同时满足下列条件:
①l分别与直线l1和l2交于A、B两点,且AB中点为E(4,1);
②l被圆N截得的弦长为2.
【答案】
分析:(1)因为抛物线y
2=2px的准线的方程为x=-2,所以p=4,再根据抛物线的定义可求出定点N的坐标.
(2)假设存在直线l满足两个条件,显然l斜率存在,设l的方程为y-1=k(x-4),(k≠±1)以N为圆心,同时与直线l
1:y=x和l
2:y=-x相切的圆N的半径为
,因为l被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,由此入手能够推导出不存在满足条件的直线l.
解答:解:(1)因为抛物线y
2=2px的准线的方程为x=-2
所以p=4,根据抛物线的定义可知:
点N是抛物线的焦点,
所以定点N的坐标为(2,0)
(2)解:假设存在直线l满足两个条件,显然l斜率存在,
设l的方程为y-1=k(x-4),(k≠±1)
以N为圆心,同时与直线l
1:y=x和l
2:y=-x相切的圆N的
半径为
,因为l被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,
即
,
解得
,
当k=0时,显然不合AB中点为E(4,1)的条件,矛盾!
当
时,l的方程为4x-3y-13=0
由
,解得点A坐标为(13,13),
由
,解得点B坐标为
,
显然AB中点不是E(4,1),矛盾!
所以不存在满足条件的直线l.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合运用,具有一定的难度,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.