Question

设f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，3）是增函数，则k的取值范围是

1. A.
   k＜0
2. B.
   0＜k≤1
3. C.
   k≥1
4. D.
   k≤1

Answer 1

C
分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，3）上是减函数转化成f'（x）≥0在区间（0，3）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．
解答：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，3）上是增函数，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，3）上恒成立
当k=0时，f'（x）=-6＜0，显然不成立；
当k＞0时，由于二次函数y=3kx²+6（k-1）x，开口向上，始终过原点，对称轴为x=-=，
只有当≤0，才满足3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，3）上恒成立，解得k≥1；
当k＜0时，由于二次函数y=3kx²+6（k-1）x，开口向下，始终过原点，对称轴为x=-=，
只有当≥0，且f'（3）≥0，时才满足，解得此时k，显然与k＜0矛盾，故应舍去．
综上，可知k≥1
故选C．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．