Question

（1）若2^a=5^b=10，求

1

a

+

1

b

的值；
（2）已知x

1

2

+x-

1

2

=3，求

x2+x-2-2

x+x-1-3

的值．

Answer 1

分析：（1）要求

1

a

+

1

b

的值需求出a，b的值故可根据条件2^a=5^b=10结合指数式与对数式的转化公式：a^b=N?b=log_a^N求出a，b然后代入再结合换底公式化简即可得解．
（2）通过已知表达式求出x+x^-1，x²+x^-2的值，然后求解所求表达式的值即可．

解答：解：（1）∵2^a=5^b=10
∴a=log₂10，b=log₅10
∴

1

a

+

1

b

=

1

log210

+

1

log510

=log₁₀²+log₁₀⁵=log₁₀¹⁰=1．
（2）因为x

1

2

+x-

1

2

=3，所以(x

1

2

+x-

1

2

)2=9，
∴x+2+x^-1=9，
∴x+x^-1=7，
∴（x+x^-1）²=49，
∴x²+x^-2=47
∴

x2+x-2-2

x+x-1-3

=

47-2

7-3

45

4

．

点评：本题主要考察指数式与对数式的互化．解题的关键是熟记指数式与对数式的转化公式：a^b=N?b=log_a^N和对数的换底公式；有理指数幂的运算，考查计算能力．