Question

已知抛物线f（x）=2x²-x上一点P（3，f（3））及附近一点P'（3+△x，f（3+△x）），则割线PP′的斜率为kPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

=

2△x+11

，当△x趋近于0时，割线趋近于点P处的切线，由此可得到点P处切线的一般方程为

11x-y-18=0

．

Answer 1

分析：把3+△x和3代入f（x）=2x²-x，再代入公式KPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

整理后即可；求点P处切线的方程，可先把
KPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

求△x→0的极限值得到切线的斜率，求出f（3）后直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式．

解答：解：因为f（x）=2x²-x，
则割线PP′的斜率为kPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

=

2(3+△x)2-(3+△x)-(2×32-3)

△x

=

18+12△x+2(△x)2-3-△x-18+3

△x

=

2(△x)2+11△x

△x

=2△x+11．
当△x趋近于0时，割线趋近于点P处的切线，由此可得到点P处切线的斜率为：

lim

△x→0

(2△x+11)=11．
又f（3）=2×3²-3=15，所以P（3，15）．
所以，点P处切线的方程为y-15=11×（x-3），即为11x-y-18=0．
故答案分别为2△x+11，11x-y-18=0．

点评：本题考查了函数变化率，考查了导数的概念与其几何意义，函数在曲线上某点处的导数值，就是函数图象在该点处的切线的斜率．考查了直线方程的点斜式和一般式的互化，是基础的概念题．