Question

（12分）椭圆C：的两个焦点分别为 ,是椭圆上一点，且满足。

（1）求离心率e的取值范围；

（2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为。

(i)求此时椭圆C的方程；

(ii)设斜率为的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由。

Answer 1

（12分）解：(1)、由几何性质知的取值范围为：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为+ = 1 。设H( x , y )是椭圆上的一点，则| NH |² =x²+(y-3)² = - (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，则当y = - b时，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，则当y = -3时，| NH |²有最大值2b²+18 ，所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求椭圆方程为+ = 1………………7分

(ii) 设 A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，则由两式相减得x₀+2ky₀=0；……8分

又直线PQ⊥直线l，∴直线PQ的方程为y= - x - ，将点Q( x₀ , y₀ )坐标代入得y₀= - x₀- ………②　　……9分

由①②解得Q( - k ,  )，而点Q必在椭圆的内部

∴ + < 1，…… 10分，  由此得k² < ，又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k <

故当( - , 0 ) ∪( 0 , )时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。…………12分