Question

【题目】已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.

（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；

（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.

Answer 1

【答案】（1），；（2）1.

【解析】

（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线的直角坐标方程；先写出曲线的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；

（2）先求出的直角坐标，据此求得中点的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线的极坐标方程，即可求得两点的极坐标，则距离可解.

（1）：可整理为，

利用公式可得其直角坐标方程为：，

：的普通方程为，

利用公式可得其极坐标方程为

（2）由（1）可得的直角坐标方程为，

故容易得，，

∴，∴的极坐标方程为，

把代入得，.

把代入得，.

∴，

即，两点间的距离为1.