Question

已知f（a^x）=-x²+2x+2（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若a=2，x∈[

1

4

，16]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[

1

27

，3]，是否存在实数a的值，使得f（x）的值域为[-1，3]，若存在，求出a的取值的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）a^x=t＞0，利用换元法即可求出f（x）的解析式；
（2）将a=2代入（1）中求出的函数解析式，利用换元的思想将函数转化为二次函数求值域，即可求得答案；
（3）对于底数a分0＜a＜1和a＞1两种情况，再根据二次函数的值域，即可分别列出方程，求出a的值，即可求得答案．

解答：解：（1）令a^x=t＞0，
∴x=log_at，
∴f(x)=-(logax)2+2logax+2(x＞0)．
（2）当a=2时，f(x)=-(log2x)2+2log2x+2(x＞0)，
由题意，x∈[

1

4

，16]，log2x∈[-2，4]，
令m=log2x∈[-2，4]，y=-m2+2m+2，m∈[-2，4]
对称轴为m=1∈[-2，4]，
∴f（x）的值域为[-6，3]．
（3）①当a＞1时，
∵x∈[

1

27

，3]，则logax∈[loga

1

27

，loga3]，
∵f（x）的值域为[-1，3]，
∴

loga 1 27 =-1 1≤loga3≤3

或

loga3=-3 -1≤loga 1 27 ≤1

，
∴a∈∅；
②当0＜a＜1时，
∵x∈[

1

27

，3]，则logax∈[loga3，loga

1

27

]，
∵f（x）的值域为[-1，3]，
∴

loga3=-1 1≤loga 1 27 ≤3

或

loga 1 27 =3 -1≤loga3≤1

，
解得，a=

1

3

．
综合①②，存在实数a=

1

3

，使得f（x）的值域为[-1，3]．

点评：本题考查了函数的解析式的求法，函数的值域，以及对数函数的图象与性质的应用．运用换元法解题时要注意换元以后新变量的取值范围，是个易错点．本题是一个函数性质的综合题，属于中档题．