Question

在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，如图所示．
（1）设AB=a，∠ABC=θ，求Rt△ABC的面积P和正方形的面积Q
（2）当θ变化时，求

P

Q

的最小值．

Answer 1

分析：（1）设正方形边长为x，求出BC=

a

cosθ

，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面积P，正方形的面积Q．
（2）利用（1）推出

P

Q

的表达式，利用函数的单调性，求出比值的最小值．

解答：解：（1）设正方形边长为x
AB=a，∠ABC=θ
BC=

a

cosθ

，AC=atanθ
BD=xcotθ，EC=xtanθ
BC=

a

cosθ

=BD+DE+EC=x+xcotθ+xtanθ
x=

a

(1+cotθ+tanθ)cosθ

=

asinθ

sinθcosθ+1

三角形ABC的面积P=

1

2

AB×AC=

1

2

a²tanθ
正方形的面积 Q=x²=(

asinθ

sinθcosθ+1

)2．
（2）

P

Q

=

1

2

×

a2tanθ

( asinθ sinθcosθ+1 )2

=

1

2sinθcosθ

+

1

2

sinθcosθ+1
∵sinθ＞0，cosθ＞0
令：t=sin2θ
∵0＜θ＜

π

2

∴t∈（0，1]∴

P

Q

=1+

1

t

+

t

4

，函数在（0，1]递减
∴y_min=

9

4

（当且仅当t=1即θ=

π

4

时成立）
∴当θ=

π

4

时，

P

Q

的最小值为

9

4

．

点评：本题考查三角函数的基本关系式，函数单调性的应用，考查计算能力．