Question

定义域为R的函数，若关于x的函数有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于（ ）
A．
B．16
C．5
D．15

Answer 1

【答案】分析：作出f（x）的图象，由图知，只有当f（x）=1时有两解，欲使关于x的方程有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则必有f（x）=1这个等式，由根与系数的关系得另一个根是f（x）=，从而可得5个根的平方和，问题得到解决．
解答：解：作出f（x）的图象：
由图知，只有当f（x）=1时有两解；
∵关于x的方程f²（x）+bf（x）=0有5个不同的实数解：
x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
∴必有f（x）=1，从而x₁=1，x₂=2，x₃=0．
由根与系数的关系得另一个根是f（x）=，
从而得x₄=3，x₅=-1．
∴原方程的五个根分别为：-1，0，1，2，3，
故可得x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=15．
故选D．
点评：本题考查复合函数的零点问题，复合函数的零点的问题，必须要将f（x）看成整体，利用整体思想解决．数形结合也是解决此题的关键，利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．