Question

已知函数f(x)，如果存在给定的实数对(a，b)，使得f(a＋x)·f(a－x)＝b恒成立，则称f(x)为“S－函数”．

(Ⅰ)判断函数f₁(x)＝x，f₂(x)＝3^x是否是“S－函数”；

(Ⅱ)若f₃(x)＝tanx是一个“S－函数”，求出所有满足条件的有序实数对(a，b)；

(Ⅲ)若定义域为R的函数f(x)是“S－函数”，且存在满足条件的有序实数对(0，1)和(1，1)，当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[1，2]，求当x∈[－2012，2012]时函数f(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)若是“S－函数”，则存在常数使得(a＋x)(a－x)＝b． 　　即x2＝a2－b时，对xÎ R恒成立．而x2＝a2－b最多有两个解，矛盾． 　　因此不是“S－函数”　　2分 　　若是“S－函数”，则存在常数a，b使得， 　　即存在常数对(a，32a)满足． 　　因此是“S－函数”　　4分 　　(Ⅱ)是一个“S－函数”，设有序实数对(a，b)满足． 　　则tan(a－x)tan(a＋x)＝b恒成立． 　　当a＝时，tan(a－x)tan(a＋x)＝－cot2(x)不是常数　　5分 　　因此，时， 　　则有． 　　即恒成立　　7分 　　即． 　　当，时，tan(a－x)tan(a＋x)＝cot2(a)＝1， 　　因此满足是一个“S－函数”的常数(a，b)＝　　9分 　　(Ⅲ)函数是“S－函数”，且存在满足条件的有序实数对和， 　　于是 　　即， 　　　　12分 　　　　13分 　　因此为以2为周期的周期函数． 　　当时，函数的值域为　　14分