Question

如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．

(1)求证：AC⊥DE；

(2)已知二面角A­PB­D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析   (2)

【解析】解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n₁＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n₂＝(x，y，z)，则根据

得令y＝1，得平面PAB的一个法向量为n₂＝.

∵二面角A­PB­D的余弦值为，

则|cos〈n₁，n₂〉|＝，

即＝，

解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵＝(－1,0，－)，n₂＝(，1,1)，

则sin θ＝|cos〈，n₂〉|＝＝，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.