Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=

bn

1-4 a 2 n

，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥k

1 b2b3…bn+1

成立的最大实数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出a₂ 和b₂ 的值，即可得到P₂ 的坐标，用两点式求得过点P₁，P₂的直线l的方程．
（Ⅱ）把已知点P_n的坐标代入直线l的方程可得 2a_n+b_n=1，化简可得

1

an+1

-

1

an

=2，故{

1

an

}是公差等于2的等差数列，由此求得数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n=

2n-3

2n-1

．依题意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）

b2b3…bn+1

恒成立．设F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）

b2b3…bn+1

，利用单调性求得F（n）_min=F（1），故 k≤F（1），运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）因为 b2= 

b1

1-4a12

=

1

3

，所以a₂=a₁b₂=

1

3

．所以P₂（

1

3

，

1

3

）．
所以过点P₁，P₂的直线l的方程为 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，
∴2a_n+b_n=1．
由a_n+1=a_nb_n+1 可得 a_n+1=a_n（1-2a_n+1），
∴

1

an

=

1-2an+1

an+1

，即

1

an+1

-

1

an

=2，故{

1

an

}是公差等于2的等差数列．
所以

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=

1

2n-1

．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n=

2n-3

2n-1

．依题意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）

b2b3…bn+1

 恒成立．
设F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）

b2b3…bn+1

，所以只需求满足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵

F(n+1)

F(n)

=

(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an+1) b2b3…bn+2

(1+a1)(1+a2)…(1+an)   b2b3…bn+1

=（1+a_n+1）

bn+2

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，
所以F（n） （x∈N^*）为增函数．
所以F（n）_min=F（1）=

2

3

=

2 3

3

．
所以 k≤

2 3

3

．
所以k_max=

2 3

3

．

点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式的综合，数列的函数特性，函数的恒成立问题，属于难题．