Question

3．已知不等式x²-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下，若函数f（x）=ax+$\frac{bx+4}{2（x-1）}$（x＞1），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得1和4是方程x²-5ax+b=0的两根，运用韦达定理，即可得到所求值；
（Ⅱ）化简变形函数f（x）=x+$\frac{2x+2}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+3，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得1和4是方程x²-5ax+b=0的两根，
即有1+4=5a，1×4=b，解得a=1，b=4；
（Ⅱ）函数f（x）=ax+$\frac{bx+4}{2（x-1）}$（x＞1）
=x+$\frac{2x+2}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+3≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+3=7，
当且仅当x-1=2即x=3时，取得最小值7．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用韦达定理求出系数，考查函数的最值的求法，注意运用变形和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．