Question

已知函数
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2x+n．当时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数n的取值范围．

Answer 1

解：（1）当m=2时，f（x）=lnx-2x-（x∈（0，+∞））
因此f（1）=-3，f′（x）=-2+，切线斜率k=f′（1）=0
所以切线方程为y=-3
（2）f′（x）=-m+=
令h（x）=-mx²+x+m-1（x∈（0，+∞））
当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1
∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（-1）]，
当m＜0时，-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
0＜m≤时，0＜1＜-1，f（x）在（0，1），（-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，-1）上是增函数
（3）当时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数
∴对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以g（x₂）≤，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤
即n-1≤解得n≤
分析：（1）欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程只需求出切线斜率k=f′（1），从而求出所求；
（2）先求导函数，然后讨论m的范围，得到导函数的符号，得到函数的单调性；
（3）根据（2）求出对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=，然后根据题意可知存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤，解之即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的思想，属于中档题．