Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当k=1时，求△AMN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组求出a，b即可得到椭圆方程．
（2）利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，求解三角形的面积即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$解得b=$\sqrt{2}$．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$得3x²-4x²-2=0．
设点M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$-\frac{2}{3}$．
所以|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[{{（\frac{4}{3}）}^2}+4×\frac{2}{3}]}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$．
又因为点A（2，0）到直线y=x-1的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以△AMN的面积为$S=\frac{1}{2}|{MN}|d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{5}}}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式，运算求解能力．