Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是（1，0），这个椭圆与直线y=x-1交于A、B两点，若以A、B为直径的圆过椭圆左焦点，求椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设出椭圆方程，和直线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的乘积，再结合

FA

•

FB

=0即可求得m的值，则椭圆方程可求．

解答： 解：由题意设椭圆方程为

x2

m

+

y2

m-1

=1，
联立

y=x-1 x2 m + y2 m-1 =1

，得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0．
由根与系数关系得：x1x2=

2m-m2

2m-1

．
以AB为直径的圆过椭圆的焦点F（-1，0），
∴

FA

•

FB

=0，即
（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
（x₁+1）（x₂+1）+（x₁-1）（x₂-1）=0．
∴x₁x₂=-1，
得

2m-m2

2m-1

=-1，解得：
m=2±

3

．
又∵m＞1
∴m=2+

3

．
∴椭圆方程为：

x2

2+ 3

+

y2

1+ 3

=1．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．