Question

已知等比数列的{a_n}前n项和An=(

1

3

)n-c(n∈N*，c为常数），数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和B_n满足Bn-Bn-1=

Bn

+

Bn-1

(n≥2，n∈N*)．
（1）求常数c的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，若对任意正整数n，

k

n

≤Tn恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由a1=

1

3

-c，an=An-An-1=(

1

3

)n-(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n(n≥2)，能求出常数c的值．
（2）由b₁=c=1，Bn-Bn-1=

Bn

+

Bn-1

(n≥2，n∈N*)，知(

Bn

+

Bn-1

)(

Bn

-

Bn-1

)=

Bn

+

Bn-1

(n≥2，n∈N*)，

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）由Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，知若对任意正整数n，

k

n

≤Tn恒成立，由此能求出实数k的最大值．

解答：解：（1）a1=

1

3

-c，an=An-An-1=(

1

3

)n-(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n(n≥2)
因为数列{a_n}是等比数列，
所以a₁也适合an=-2(

1

3

)n(n≥2)，
即有

1

3

-c=-2×

1

3

，解得c=1…（2分）
（2）由（1）知b₁=c=1，
又Bn-Bn-1=

Bn

+

Bn-1

(n≥2，n∈N*)，
所以(

Bn

+

Bn-1

)(

Bn

-

Bn-1

)=

Bn

+

Bn-1

(n≥2，n∈N*)，
由b₁=c=1知

Bn

+

Bn-1

≠0，
故

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)，
所以数列{

Bn

}是首项为

B1

=

b1

=1，公差为1的等差数列．
从而 

Bn

=1+(n-1)•1=n，
B_n=n²（n∈N^*）…（5分）
所以b_n=B_n-B_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2），
b₁=1也适合上式，
故b_n=2n-1（n∈N^*）…（6分）
（3）由（2）得：Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（8分）
若对任意正整数n，

k

n

≤Tn恒成立，
即k≤

n2

2n+1

对任意正整数n恒成立，
设dn=

n2

2n+1

(n∈N*)
∵dn+1-dn=

2n2+4n+1

(2n+3)(2n+1)

＞0；
∴数列{d_n}单调递增，
故(dn)min=d1=

1

3

；
∴k≤

1

3

，
即k的最大值为

1

3

…（10分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．