给出以下命题:①函数f(x)=|log2x2|既无最大值也无最小值,②函数f(x)=|x2-2x-3|的图象关于直线x=1对称,③向量AB与向量CD共线.则A.B.C.D四点共线,④若函数f|.则函数f(x)或是奇函数或是偶函数,⑤设定义在R上的函数f(x)满足对任意x1.x2∈R.x1＜x2有f(x1)-f(x2)＜x1-x2恒成立.则函数F-x在R上递增．其中正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

给出以下命题：
①函数f（x）=|log2x2|既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③向量

与向量

共线，则A，B，C，D四点共线；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设定义在R上的函数f（x）满足对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，则函数F（x）=f（x）-x在R上递增．
其中正确的命题是

②④⑤

（写出所有真命题的序号）

分析：①根据绝对值的性质进行判断；
②根据对称轴的公式进行判断；
③根据向量平行与共线的性质进行判断；
④特殊函数常数函数，对其判断；
⑤用定义法判断则函数F（x）=f（x）-x在R上是否为递增；

解答：解：①∵函数f（x）=|log2x2|≥0，显然有最小值，故①错误；
②∵函数f（x）=x²-2x-3，的对称轴x=-

-2

=1，因为函数f（x）=|x²-2x-3|与函数f（x）=x²-2x-3对称轴一样，∴函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称，故②正确；
③∵两个向量平行就也叫共线，向量

∥

，但A B C D四点不一定共线，故③错误；
④∵|f（-x）|=|f（x）|，∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），∴函数f（x）或是奇函数或是偶函数，故④正确；
⑤∵对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂=f（x₁）-f（x₂）-（x₁-x₂）＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂），
∴函数F（x）=f（x）-x在R上递增．
故⑤正确；
故答案为②④⑤；

点评：此题主要考查二次函数，向量的共线，以及奇偶函数的性质，用定义法判断函数的增减性，知识点比较多比较全面，是一道小型综合题，难度不是很大．

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对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2等，定义函数f（x）=x-[x]，给出以下命题：
①函数f（x）的最小值为0；
②方程f（x）=

有且仅有一个解；
③函数f（x）是增函数；
④函数f（x）是周期函数．
其中正确命题的序号为

．

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已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是（　　）

A．①③

B．②③

C．①③④

D．①②④

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已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：
①函数f（x）是周期为2的周期函数；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；
④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题有

①③

．

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一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

1+|x|

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②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③对任意的x₁，x₂∈R，存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
④若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则 fn(x)=

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述命题中正确的是

②③

．（请将正确命题的序号都填上）

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