Question

已知圆C：x²-2x+y²=0，直线l：x+y-4=0．
（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为

3

，求直线l′的方程；
（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出直线l′方程，利用弦长为

3

，结合勾股定理，即可求直线l′的方程；
（2）表示出S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，而PA²=PC²-r²=PC²-1，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，从而可得结论．

解答：解：（1）因为直线l′⊥l，所以直线l′的斜率为1，设直线l′方程为y=x+b，
因为截得弦长为

3

，所以圆心C到直线l′的距离为

1

2

，即

|1+b|

2

=

1

2

，解得b=-1-

2

2

或b=-1+

2

2

，
所以直线l′方程为：y=x-1-

2

2

或y=x-1+

2

2

．--------（5分）
（2）S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，
因为|AC|=r=1，所以当|PA|取得最小值时四边形PACB的面积最小．
因为PA²=PC²-r²=PC²-1，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，
由点到直线的距离公式可得|PC|min=

|1+0-4|

2

=

3 2

2

，
所以(S四边形PACB)min=

14

2

．---------------------（10分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．