Question

已知抛物线y²=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为

4

3

，若直线l与该抛物线相切，且平行于直线2x-y+6=0，则直线l的方程为

16x-8y+1=0

．

Answer 1

分析：利用定积分，列出关于面积的式子，求出a，设出直线l的方程，代入抛物线方程，利用直线l与该抛物线相切，即可得到结论．

解答：解：已知抛物线y²=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为

4

3

，
利用定积分，面积S=

∫

1 0

[

ax

-(-

ax

)]dx=

4

3

a

=

4

3

，得a=1，
∴抛物线方程为y²=x
设直线l的方程为2x-y+2c=0，即x=

y

2

-c
代入抛物线方程可得y²-

y

2

+c=0
∵直线l与该抛物线相切，
∴

1

4

-4c=0，∴c=

1

16

∴直线l的方程为16x-8y+1=0
故答案为：16x-8y+1=0

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．