Question

水车问题．

水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，下图是一个水车的示意图，它的直径为3 m，其中心(即圆心)O距水面1.2 m．如果水车每4 min逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h(m)是一个变量，显然，它是时间t(s)的函数．我们知道，h与t的函数关系反映了这个周期现象的规律．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始记时(t＝0)．

　　首先，设法用解析式表示出这个函数关系，并用“五点法”作出这个函数在一个周期内的简图．

　　其次，我们讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？

Answer 1

答案：
解析：

解：不妨设水面的高度为0，当P点旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值． 　　如图，设水车的半径为R，R＝1.5 m，水车中心到水面的距离为b，b＝1.2 m；∠QOP为α； 　　水车旋转一圈所需的时间为T；单位时间(s)旋转的角度(rad)为． 　　过P点向水面作垂线，交水面于M点，PM的长度为P点的高度h． 　　过水车中心O作PM的垂线，交PM于N点，∠QON为φ． 　　从图中不难看出：h＝PM＝PN＋NM＝Rsin(α－φ)＋b．① 　　用ω表示单位时间(s)内水车转动的角度(rad)，这样，在t时刻水车转动的角度为：α＝ωt． 　　因为单位时间内水车转动的角度是ω，所以转一圈所用的时间T＝． 　　又由于水车轮每4 min转3圈，水车旋转一圈所需时间为T＝80 s，可求出ω＝rad/s． 　　从图中可以看出：sinφ＝， 　　所以φ≈53.1°≈0.295π rad． 　　把这些参数代入①，我们就可以得到h＝1.5 sin(t－0.295π)＋1.2(m)，② 　　这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数关系式． 　　因为当P点旋转到53.1°时，P点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时t＝≈11.8(s)． 　　故可列表、描点，画出函数在区间[11.8，918．]上的简图： 　　如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面之间的距离发生改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化．水面上涨时，参数b减小；水面回落时，参数b增大．如果水车轮转速加快，将使周期T减小；转速减慢，则使周期T增大．