Question

已知函数：
（1）写出此函数的定义域和值域；　　　
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
，∴值域为{y|y≠1}．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则：，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）解：函数定义域关于原点对称，
设，
∵，
∴此函数为奇函数．
分析：（1）f（x）=1+，根据y=≠0可求函数f（x）的值域；
（2）设0＜x₁＜x₂，通过作差比较f（x₂）与f（x₁）的大小，由函数单调性的定义可以证明；
（3）先表示出g（x），求出定义域看是否关于原点对称，再判断g（-x）与g（x）的关系，由奇偶函数的定义可以判断．
点评：本题考查函数的单调性、奇偶性，属基础题，定义是解决相关题目的基本方法．