Question

定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f²（x）-1，现给定下列几个命题：
①f（x）不可能是奇函数； ②f（x）≥-1；
③f（x）不可能是常数函数；④若f（x₀）=a（a＞1），则不存在常数M，使得f（x）≤M成立．
在上述命题中错误命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：本题是一个多选题，对抽象表达式f（2x）=2f²（x）-1表达的函数性质进行推断，应该注意函数f（x）=cosx符合此表达式，易判断①②③的真假，至于选项④，显然不是函数f（x）=cosx的性质，应为真命题

解答：解：∵f（0）=2f²（0）-1，∴f（0）≠0，故f（x）不可能是R上的奇函数，①正确
∵f（x）=2f²（

x

2

）-1≥-1，故②正确
若f（x）=m，则m=2m²-1即2m²-m-1=0，m=1或m=-

1

2

，故f（x）可能是常数函数y=1或y=-

1

2

，故③是假命题
若f（x₀）=a（a＞1），则此函数没有上界，即不存在常数M，使得f（x）≤M成立，故④为真命题
故选A

点评：本题考察了抽象函数表达式的意义，解题时要能透过现象看到本质，熟练的运用特殊函数，特殊值等方法准确做出判断