Question

已知函数f(x)＝()^x，

函数y＝f^－1(x)是函数y＝f(x)的反函数．

(1)若函数y＝f^－1(mx²＋mx＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围；

(2)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]²－2af(x)＋3的最小值g(a)；

(3)是否存在实数m＞n＞3，使得g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由

 

Answer 1

【答案】

(1)∵f^－1(x)

＝logx(x＞0)，

∴f^－1(mx²＋mx＋1)

＝log(mx²＋mx＋1)，由题知，mx²＋mx＋1＞0恒成立，

∴①当m＝0时，1＞0满足题意；

②当m≠0时，

应有

⇒0＜m＜4，

∴实数m的取值范围为

0≤m＜4.

(2)∵x∈[－1,1]，

∴()^x∈[，3]，

y＝[f(x)]²－2af(x)＋3

＝[()^x]²－2a()^x＋3

＝[()^x－a]²＋3－a²，

当a＜时，

y_min＝g(a)＝－；

当≤a≤3时，

y_min＝g(a)＝3－a²；

当a＞3时，y_min＝g(a)

＝12－6a.

∴g(a)

＝

(3)∵m＞n＞3，且g(x)＝12－6x在(3，＋∞)上是减函数．

又g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]．

∴

②－①得：6(m－n)＝(m＋n)(m－n)

∵m＞n＞3，∴m＋n＝6.但这与“m＞n＞3”矛盾．

∴满足题意的m、n不存在．

【解析】略