Question

（2012•嘉定区三模）已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，满足(p-1)Sn=p2-an（n∈N*），其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若p=

1

2

，设数列{b_n}对任意n∈N*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+bna1=2n-

1

2

n-1，问数列{b_n}是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列是等比数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等价于(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76，分类讨论，即可求得结论；
（3）假设存在，利用错位相减法，即可求得结论．

解答：解：（1）因为(p-1)Sn=p2-an，所以当n≥2时，(p-1)Sn-1=p2-an-1，
两式相减得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

p

，
所以数列{a_n}为等比数列，公比为

1

p

，
又当n=1时，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa₁=p²，
因为p＞0，所以a₁=p，
所以{a_n}的通项公式为：a_n=p•(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2；
（2）由（1）知，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=p•(

1

p

)2•(

1

p

)5•…•(

1

p

)3n-4=(

1

p

)

n(3n-5)

2

，a₇₈=(

1

p

)76，
∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等价于(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76
p为正常数，且p≠1，所以当0＜p＜1时，

1

p

＞1，∴

n(3n-5)

2

＞76，解得n＜-

19

3

或n＞8，
故存在最小值为8的M，使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立；
当p＞1时，0＜

1

p

＜1，所以

n(3n-5)

2

＜76，解得-

19

3

＜n＜8，不合题意，
综合可得：当0＜p＜1时，所求M的最小值为8；
（3）p=

1

2

时，a_n=2^n-2，设存在数列{b_n}是等差数列，其通项为b_n=kn+b，则
∵b₁•2^n-2+b₂•2^n-3+…+b_n-1+bn•2-1=2n-

1

2

n-1，
∴b₁•2^n-1+b₂•2^n-2+…+2b_n-1+bn=2n+1-n-2，
两式相减可得b₁•2^n-1+k（2^n-2+2^n-3+…+1）-

1

2

b_n=2n-

n

2

-1
∴(k+

b

2

)•2n-

k

2

n-(k+

b

2

)=2n-

n

2

-1
∴

k+ b 2 =1 k=1

∴k=1，b=0
∴b_n=n，
即存在数列{b_n}是等差数列，其通项为b_n=n，对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+bna1=2n-

1

2

n-1，

点评：本题为等差、等比数列与不等式的综合应用，考查错位相减法的运用，考查分类讨论的数学思想，属中档题．