Question

17、如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2。

（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小。

 

　　　　　　     图1                                                                  图2                   

 

                            

Answer 1

17．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

       如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）

图3

       O₁（0，0，）.

       从而

 所以AC⊥BO₁.

（II）解：因为

所以BO₁⊥OC，由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，

是平面OAC的一个法向量.

设是平面O₁AC的一个法向量，

由   

得.

设二面角O—AC—O₁的大小为，由、的方向可知，>，

       所以cos，>=

 

       即二面角O—AC—O₁的大小是

 

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

     所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

图4

       即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO₁，

       OC是AC在面OBCO₁内的射影.

       因为    ，

       所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

       由三垂线定理得AC⊥BO₁.

（II）解 由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

       设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F（如图4），则EF是O₁F在平面AOC

       内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

       所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

       由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

       所以，

       从而，    

又O₁E=OO₁·sin30°=，所以 

即二面角O—AC—O₁的大小是