Question

（2012•资阳二模）甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A₁、A₂，由A₁与A₂互斥，能求出从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A₁、A₂，且A₁与A₂互斥，
则：P（A₁）=

1

3

×

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

1

5

，P（A₂）=

2

3

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

16

45

，（4分）
∴P（A）=

1

5

+

16

45

=

5

9

，
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为

5

9

．（6分）
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）=

1

3

×

C 2 3

C 2 6

+

2

3

×

C 2 2

C 2 6

=

1

9

，
P（ξ=1）=

1

3

×

C 1 3 C 1 3

C 2 6

+

2

3

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

5

9

，
P（ξ=2）=

1

3

×

C 2 3

C 2 6

+

2

3

×

C 1 4

C 2 6

=

1

3

，（答对一个得1分）（9分）
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	1 9	5 9	1 3

∴Eξ=0×

1

9

+1×

5

9

+2×

1

3

=

11

9

．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）

点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．