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根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程.
(Ⅰ)已知椭圆的长轴长为6,一个焦点为(2,0),求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)已知双曲线过点P(
5
1
2
)
,渐近线方程为x±2y=0,且焦点在x轴上,求该双曲线的标准方程.
分析:(I)设出椭圆的标准方程,可得2a=6且c=2,由平方关系算出b2=5,从而得到所示椭圆的方程;
(II)根据双曲线的渐近线方程,设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0),将点P(
5
1
2
)
代入求出λ的值,将λ代入所设的双曲线方程,再化简即得该双曲线的标准方程.
解答:解:(I)设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),则
∵椭圆的长轴长为6,一个焦点为(2,0),
∴2a=6,c=2,可得a=3,b2=
a2-c2
=5
因此,椭圆的方程为
x2
9
+
y2
5
=1

(II)∵双曲线渐近线方程为x±2y=0,
∴设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0)
∵点P(
5
1
2
)
在双曲线上,∴(
5
)
2
-4×(
1
2
)
2
,可得λ=4
因此,双曲线方程为x2-4y2=4,化成标准方程为
x2
4
-y2=1

即所求双曲线方程为
x2
4
-y2=1
点评:本题给出椭圆、双曲线满足的条件,求它们的标准方程,着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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1
2
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,渐近线方程为x±2y=0,且焦点在x轴上,求该双曲线的标准方程.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省福州市高二(上)期末数学试卷(期末)(解析版) 题型:解答题

根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程.
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