Question

P是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一点，点M，N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的动点，则|PM|-|PN|的最小值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最小值．

解答：解：双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），
则这两点正好是两圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的圆心，
两圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的半径分别是r₁=2，r₂=1，
∴|PM|_min=|PF₁|-2，|PN|_max=|PF₂|+1，
∴|PM|-|PN|的最小值=（|PF₁|-2）-（|PF₂|+1）=6-3=3，
故选C．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．