Question

如果函数y=x²-2tx与y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在某一点取得相等的最小值，则k的最大值是

2 2

3

．

Answer 1

分析：先根据二次函数的性质，知数y=x²-2tx在x=t时取得最小值-t²，再根据正弦函数的性质，知函数y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在x=2mk-

k

2

（m∈Z）时取得最小值-2，由已知得两函数在同一点取得同样的最值，故可得-t²=-2，2mk-

k

2

=t （m∈Z），从而将k用整数变量m表示，求最值即可

解答：解：函数y=x²-2tx在x=t时取得最小值-t²，
函数y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在x=2mk-

k

2

 （m∈Z）时取得最小值-2
∵函数y=x²-2tx与y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在某一点取得相等的最小值
∴-t²=-2，∵t＞0
∴t=

2

∴2mk-

k

2

=

2

 （m∈Z）
∴k=

2

2(m- 1 4 )

   （m∈Z）
∴m=1时，k取得最大值

2

2(1- 1 4 )

=

2 2

3

故答案为

2 2

3

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质，转化化归的思想方法