Question

设f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；
（2）设f（x）与g（x）的图象交点A、B在x轴上的射影为A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范围；
（3）求证：当x≤-

3

时，恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，可得a＞0，c＜0，联立方程y=f（x）=ax²+bx+c和y=g（x）=ax+b，并判断△的符号，即可判断出函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点的个数；
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由数轴上两点之间的距离及二次方程根与系数的关系，可以求出|A₁B₁|的取值范围；
（3）不妨设x₁＞x₂，则由（2）中

3

2

＜x₁-x₂＜2

3

，及-2＜

c

a

＜-

1

2

，结合a＞b＞c，可得-

3

＜x₂≤0，又由a＞0，结合二次函数的图象和性质可得，当x≤-

3

时，f（x）-g（x）＞0恒成立．

解答：证明：（1）由 y=f（x）=ax²+bx+c，y=g（x）=ax+b得
ax²+（b-a）x+（c-b）=0  （*）
△=（b-a）²-4a （c-b）
∵f（x）=ax²+bx+c，f（1）=0
∴f（1）=a+b+c=0 …（3分）
又a＞b＞c
∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0，c＜0
∴b-a＜0，c-b＜0，a＞0
∴△=（b-a）²-4a（c-b）＞0
故函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；…（5分）
解：（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则x₁、x₂是方程（*）的两根
故x₁+x₂=-

b-a

a

，
x₁x₂=

c-b

a

，
所以|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( b-a a )2-4 c-b a

=

(b-a)2-4a(c-b)

a

又a+b+c=0，故b=-（a+c）
因而（b-a）²-4a（c-b）=（-2a-c）²-4a（a+2c）=c²-4ac
故|A₁B₁|=

c2-4ac

a

=

( c a )2-4( c a )

=

( c a -2)2-4

…（8分）
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞-（a+c）＞c
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

∴|A₁B₁|的取值范围是（

3

2

，2

3

）…（10分）．
证明：（3）不妨设x₁＞x₂，则由（2）知：

3

2

＜x₁-x₂＜2

3

①
则x₁+x₂=-

c

a

=1-

b

a

由a＞b＞c得：

c

a

＜

b

a

＜1，
故0＜1-

b

a

＜1-

c

a

…（12分）
又-2＜

c

a

＜-

1

2

，
故

3

2

＜1-

c

a

＜3，
因而0＜1-

b

a

≤

3

2

即0＜x₁-x₂≤

3

2

②
由①、②得：-

3

＜x₂≤0，
即方程（*），也就是方程f（x）-g（x）=0的较小根的范围是（-

3

，0]．
又a＞0，故当x≤-

3

时，
f（x）-g（x）＞0恒成立，
即当x≤-

3

时，恒有f（x）＞g（x） …（14分）．

点评：本小题主要考查函数的性质等有关知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力．熟练掌握二次函数的图象和性质，及二次函数、二次不等式之间的关系是解答本题的关键．