Question

正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，则

1

m

+

9

n

的最小值是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：根据数列的性质得出m+n=4，运用基本不等式

1

m

+

9

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

4

（10+

9m

n

+

n

m

）≥

1

4

×（10+6）=4，（n=3m等号成立）求解即可．

解答： 解：∵正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，
∴q⁶=q⁵+2q⁴，
q=2，q=-1（舍去），
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，
∴（a₁）²•2^m-1•2^n-1=4（a₁）²，
即m+n=4，
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

4

（10+

9m

n

+

n

m

）≥

1

4

×（10+6）=4，（n=3m等号成立）
故选：D

点评：本题考查数列的性质，基本不等式的运用，属于中档题，难度不大．