Question

长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为(    )

A．           B．           C．           D．

Answer 1

C 

由题意知,长方体内接于球,此时具有两个性质:

①长方体的体对角线为球体的直径(由题意,直径为2);

②长方体的中心就是球心O.

先由性质①:

BD₁==2,

再结合条件“AB∶AD∶AA₁=2∶1∶”，可设AB=2k,AD=k,AA₁=k,

所以有=2,解得k=.因此AB=,AD=.

再由性质②:O是球心同时也是BD₁的中点,

∴OB=BD₁=OA=1,∴∠AOB=90°.

再由球面距离的定义，AB的球面距离就是扇形AOB的劣弧长.

由弧长公式可得=α·r=·1=.∴AB的球面距离为.