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已知椭圆数学公式,与直线x+y-1=0相交于A,B两点,且OA⊥OB,为坐标原点.
(Ⅰ)求数学公式的值;
(Ⅱ)若椭圆长轴长的取值范围是数学公式,求椭圆离心率的取值范围.

解:(Ⅰ)将x+y-1=0代入椭圆方程整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0(﹡)
设A(x1,y1),B(x2,y2),

.(3分)
又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0∴∴a2+b2=2a2b2,∴
经验证,此时方程(﹡)有解,∴(7分)
(Ⅱ)将代入①得
2-e2=2a2(1-e2),∴=(10分)
,∴

而0<e<1,∴
故e的取值范围为(13分).
分析:本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系及参数的求值问题,
(Ⅰ)通过直线与椭圆的位置关系,利用代入法求解相应的代数式的值;
(Ⅱ)利用长轴长的取值范围,结合关系式与不等式的求解来确定离心率的取值范围.
点评:本题是直线与圆锥曲线的综合问题.近年高考中圆锥曲线问题的解答难度有逐渐变低的趋势.通过解析几何自身的特点,结合相应的数学知识,比如不等式、数列、函数、向量、导数等,考查各知识点之间的综合应用,也是考查学生综合能力的一大考点.在新课标的高考中,圆锥曲线的考查以基础知识为主,难度不会太大.
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如图,椭圆G的中心在坐标原点,其中一个焦点为圆F:x2+y2-2x=0的圆心,右顶点是圆F与x轴的一个交点.已知椭圆G与直线l:x-my-1=0相交于A、B两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求△AOB面积的最大值.

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如图,椭圆G的中心在坐标原点,其中一个焦点为圆F:x2+y2-2x=0的圆心,右顶点是圆F与x轴的一个交点.已知椭圆G与直线l:x-my-1=0相交于A、B两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求△AOB面积为
3
3
5
时,求直线l的方程.

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