Question

【题目】设函数，其中．

（）若，求函数的单调递减区间．

（）求函数的极值．

（）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）.

【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）讨论当时，当时，两种情况，分别判断导函数的符号，可得函数的单调区间，结合函数的单调性可得函数的极值；（）若在恰有两个零点，则，即，解得.

试题解析：（）依题意，函数的定义域为，当时，，，令，得，解得或，又∵，∴函数的单调递减区间是．

（），，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴无极值，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，无极小值， 综上所述，当时，函数无极值，

当时，的极大值为，无极小值．

（）由（）可知，当时，在区间上是增函数，显然，在区间不可能恰有两个零点，当时，，又， ∴为的一个零点，∴若在恰有两个零点，则，即，解得．