Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足2kS_n-(2k+1)S_n-1=2k(常数k＞0，n=2，3，4…)

(Ⅰ)求证：数列{a_n}是等比数列；

(Ⅱ)设数列{a_n}的公比为f(k)，作数列{b_n}，使b₁=3，b_n=f()(n=2，3，4，…)求数列{b_n}的通项公式；

(Ⅲ)设c_n=b_n-2，若存在m∈N^*，且m＜n；使(c_mc_m+1+c_m+lc_m+2+…+c_nc_n+1)＜，试求m的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ)证明：当n≥2时,2kS_n-(2k+1)S_n-1=2k

∴2k(S_n-S_n-1)-S_n-1=2k,即2ka_n-S_n-1=2k  ①

∴2ka_n+1-S_n=2k  ②

②-①得2k_n+1-2ka_n-a_n=0,即2ka_n+1=(2k+1)a_n

由①a₂=1+,∴=l+

又符合上式.∴{a_n}是以1为首项,l+为公比的等比数列 

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)及f(k)=1+,∴b_n=f()=1+b_n-1(n≥2)

∴b_n-2=(b_n-1-2)又b₁=3,即b₂-2=1,∴,

∴{b_n-2}是以1为首项,为公比的等比数列

∴b_n-2=()^n-1,∴b_n=2+()^n-1 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知c_n=b_n-2=()^n-1,则c_n·c_n+1=()^2n-1,

∴(c_mc_m+1+c_m+1,c_m+2+…+c_nc_n+1)=

=∴

∵512＜669＜1 024,∴2m-3＞9,即m＞6

又m∈N^*,∴m的最小值为7.