Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=2，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（II）求此几何体的体积；
（Ⅲ）点F为AA₁上一点，若BF⊥平面COB₁，求AF的长．

Answer 1

分析：（I）借助线面平行的判定定理证明OC∥平面A₁B₁C₁．证明OC平行于平面A₁B₁C₁内的一条直线即可；
（II）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，底面为△A₁B₁C₁，高为6，从而可求求几何体体积；
（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用若BF⊥平面COB₁，则BF⊥B₁C，即可求得结论．

解答：（I）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D，则OD∥BB₁∥CC₁．
∵O是AB的中点，∴OD=

AA1+BB1

2

=3=CC₁．
∴ODC₁C是平行四边形，∴OC∥C₁D．
∵C₁D?平面A₁B₁C₁且OC?平面A₁B₁C₁，
∴OC∥面A₁B₁C₁．
（II）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，底面为△A₁B₁C₁，高为6
∴所求几何体体积为V=

1

2

×

1

2

×2×2×6=6
（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则B₁（0，0，0），B（0，0，2），C（0，2，3），
设F（2，0，m），则

B1C

=(0，2，3)，

BF

=(2，0，m-2)
若BF⊥平面COB₁，则BF⊥B₁C，∴m=2
∴AF=2

点评：本题考查线面平行，考查几何体的条件，考查线面垂直，掌握线面平行的判定，合理补形是关键．