Question

已知函数，．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，求n的最大值；

Answer 1

解：（Ⅰ）由题知：g（x）=x²-2x+2+lnx的定义域为（0，+∞）

当g′（x）＞0，即0＜x＜或x＞2时，函数g（x）为增函数；
当g′（x）＜0，即＜x＜2时，函数g（x）为减函数．
所以，g（x）的单调递增区间为（0，）∪（2，+∞），单调递减区间为（，2）
（Ⅱ）∵g（x）在（2，+∞）上为增函数，在（，2）上为减函数，
∴g（x）在x∈上的最小值为g（2）
且g（2）=
∴g（x）在x∈上没有零点，
∴要想使函数g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，并考虑到g（x）在（0，）单调递增且在（，2）单调递减，故只须且g（eⁿ）≤0即可，
易验证=，
根据g（x）在（0，）为单调递增函数，当n≤-2且n∈Z时均有g（eⁿ）≤g（e^-2）＜0，
即函数g（x）在[eⁿ，e^-1]?[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点
∴n的最大值为-2．
分析：（1）令g′（x）＞0，得到g（x）的单调增区间；令g′（x）＜0，得到g（x）的单调减区间．
（2）容易求得g（x）在[，+∞]的最小值为g（2）大于0，若g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，只能在（0，）上存在零点，故只须令eⁿ＜且g（eⁿ）≤0，找到n的最大值即可．
点评：本题较好，是关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、最值、零点等函数的基本知识，应熟练掌握．