Question

存在x＜0使得不等式x²＜2-|x-t|成立，则实数t的取值范围是

（-

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，2）

．

Answer 1

分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合．原不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，分别画出函数y₁=|x-t|，y₂=2-x²，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0使不等式|x-t|＜2-x²成立，则y₁的图象应该在第二象限（x＜0）和y₂的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当t≤0时，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切；当t＞0时，要使y₁和y₂在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围．

解答：解：不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，
令y₁=|x-t|，y₁的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；
y₂=2-x²，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；
要存在x＜0，使不等式|x-t|＜2-x²成立，则y₁的图象应该在第二象限和y₂的图象有交点，两种临界情况，①当t≤0时，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切：
 y₁的右半部分即y₁=x-t，
联列方程y=x-t，y=2-x²，只有一个解；
即x-t=2-x²，即x²+x-t-2=0，△=1+4t+8=0，得：t=-

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；
此时y₁恒大于等于y₂，所以t=-

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取不到；
所以-

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＜t≤0；
②当t＞0时，要使y₁和y₂在第二象限有交点，
即y₁的左半部分和y₂的交点的位于第二象限；
无需联列方程，只要y₁与y轴的交点小于2即可；
y₁=t-x与y轴的交点为（0，t），所以t＜2，
又因为t＞0，所以0＜t＜2；
综上，实数t的取值范围是：-

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＜t＜2；
故答案为：（-

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，2）．

点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．