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图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为
3
,设AB=2x,BC=y.
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(1)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;
(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.
分析:(1)由“其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4”建立模型,再根据四边形ABCD是矩形求得定义域.
(2)先求得横断面的面积,再由“凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为
3
”建立模型,再用二次函数法求得最值.
解答:解:(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为πx.
所以4=2x+2y+πx,(2分)
y=
4-(2+π)x
2
(3分)
依题意知:0<x<y
0<x<
4
4+π

所以,y=
4-(2+π)x
2
0<x<
4
4+π
).(6分)

(2)依题意,设凹槽的强度为T,横截面的面积为S,则有
T=
3
S=
3
(2xy-
πx2
2
)
(8分)
=
3
(2x?
4-(2+π)x
2
-
πx2
2
)

=
3
[4x-(2+
2
)x2]

=-
3
(4-3π)
2
(x-
4
4+3π
)
2
+
8
3
4+3π
.(11分)
因为0<
4
4+3π
4
4+π

所以,当x=
4
4+3π
时,凹槽的强度最大.(13分)
答:当x=
4
4+3π
时,凹槽的强度最大.(14分)
点评:本题主要考查数学建模型和解模型的能力,主要涉及了平面图形的周长,面积及在实际问题中模型的意义.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分12分)   图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y.(Ⅰ)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;(Ⅱ)求当x取何值时,凹槽的强度最大.

                                                                                                            

 

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年辽宁省丹东市高三上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本小题满分12分)

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y.

(1)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;

(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.

 

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科目:高中数学 来源:湖北省模拟题 题型:解答题

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)的示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CMD是半圆,凹槽的横截面的周长为4。已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y。
(1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;
(2)当x取何值时,凹槽的强度最大?

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本题满分15分)图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y.

(Ⅰ)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;

(Ⅱ)求当x取何值时,凹槽的强度最大.

 


      

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